GRADO 10 JULIO -AGOSTO
USO DE LAS
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Muchos de nosotros creemos que las matemáticas son única y
exclusivamente sumar, restar, multiplicar y dividir. Pero no es así, las
matemáticas son utilizadas también en la vida cotidiana, ya sea para subir
escaleras, cortar una manzana, e incluso utilizar tu teléfono celular.
La trigonometría es una rama de la matemática, cuyo significado
etimológico es "la medición de los triángulos".
En términos generales, la
trigonometría es el estudio de las
razones trigonométricas: seno, coseno; tangente, cotangente; secante y
cosecante. Interviene directa o indirectamente en las demás ramas de la
matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos donde se requieren medidas de
precisión. La trigonometría se aplica a otras ramas de la geometría, como es el
caso del estudio de las esferas en la geometría del espacio.
Posee numerosas aplicaciones: las técnicas de triangulación, por
ejemplo, son usadas en astronomía para medir distancias a estrellas próximas,
en la medición de distancias entre puntos geográficos, y en sistemas de
navegación por satélites.
La trigonometría a aportado mucho en nuestra sociedad como por ejemplo
la construcción de casas o edificaciones las diferentes medidas que se deben
hacer. La trigonometría es de mucha utilidad en la ingeniería civil, para el cálculo
preciso de distancias, ángulos de inclinación o de peralte en una carretera.
Para terminar, la trigonometría es una de las muchas ramas de la matemática en la cual no solo se utiliza para la construcción de edificios, como mucha gente en el mundo piensa, sino también para la medición de distancias entre algunos puntos geográficos y en sistemas de navegación por satélites, también para hallar ángulos de inclinación o de peralte en una carretera; la trigonometría tiene muchas aplicaciones y puedes resolver problemas de la vida diaria y como ya saben también se utiliza mucho en la ingeniería; ve a tu alrededor y veras siempre una figura geométrica, un ángulo, un triángulo, sistema de fuerzas, entre otros. Y en general la trigonometría es quizá la parte de mayor uso en la vida diaria y en algún momento de tu vida vas a poder ver esta materia en tu vida cotidiana ya sea directa o indirectamente.
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ANGULO AGUDO EN UN TRIANGULO RECTANGULO
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones
obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación por su cociente de
sus tres lados a, b y c.
- Las razones
trigonométricas se definen como el cociente entre los lados de un
triángulo rectángulo asociado a sus ángulos.
- Las razones
trigonométricas no dependen de la longitud de los lados del triángulo,
sino de la medida de sus ángulos.
- Para definir
las razones trigonométricas del ángulo ∝, correspondientes al vértice A, se
parte de un triángulo arbitrario que contiene éste ángulo (ver la figura).
El nombre de los lados de éste triángulo
rectángulo que se usará en lo sucesivo será:
-La hipotenusa (h): es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud en el triángulo rectángulo.
-El cateto opuesto (a): es el lado opuesto al ángulo ∝.
-El cateto adyacente (b): es el lado contiguo al ángulo ∝.
Recuerde:
ü Las sumas de los
ángulos internos de un triángulo suman π Rad (180°).
ü La suma de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo es 𝜋 rad
= 90°
De acuerdo a estas
condiciones expuestas, en éste triángulo las razones trigonométricas del ángulo
∝ se definen así:
Ojo acuérdese de esta tabla SOCATO
EJEMPLO
UNO
1. De acuerdo a los datos del triángulo
de la figura, hallar las razones trigonométricas del ángulo ∝
Solución:
Nota: Para hallar las razones
trigonométricas debemos conocer las medidas de los tres lados del triángulo
rectángulo, cuando nos falta alguna la
hallamos utilizando el teorema de Pitágoras.
Teorema
de Pitágoras:
“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.” nuestro triángulo
Por tanto, b = 4 cm
(cateto opuesto)
Ahora podemos calcular todas las razones
trigonométricas pedidas:
EJEMPLO TRES
Ahora encontramos todas las relaciones trigonométricas
EJEMPLO CINCO
Encontrarlas
relaciones trigonométricas del triángulo ABC, si a = 6 cm y b = 8 cm, c = ?
DESCARGAR ACTIVIDAD 7. RAZONES TRIGONOMETRICAS- PITAGORAS
IMPORTANCIA
DE LOS TRIANGULOS RECTANGULOS
Los triángulos rectángulos tienen propiedades especiales que nos permiten resolver una gran cantidad de situaciones geométricas y son la base de las identidades trigonométricas. A partir de un triángulo rectángulo se definen los senos, cosenos tangentes (y sus inversas). Estas funciones a su vez tienen amplias aplicaciones en la física, porque describen fenómenos físicos como la corriente alterna que usamos diariamente, el movimiento ondulatorio, (péndulo), o las ondas electromagnéticas que nos permiten comunicarnos.
Tiene muchas aplicaciones dentro de la Ingeniería Civil, tales como
realizar un trazo de una propiedad con el método 3,4,5; así como determinar la
distancia x en topografía a partir de 2 lados conocidos ya que los triángulos
rectángulos poseen propiedades que ayudan a los ingenieros a construir puentes,
edificios, en fin. Su uso también es en distancias, por ejemplo el de barcos en
el mar, otros como el reloj de Sol, en la pintura, en arquitectura.
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Resolver un
triángulo es hallar las medidas de sus tres lados y las medidas de sus tres
ángulos. Es posible resolver un triángulo rectángulo en los siguientes casos.
·
Cuando se
conocen las medidas de un lado y de un ángulo agudo
·
Cuando se
conocen la medidas de los dos lados
Resolución de un triángulo rectángulo cuando se
conoce la medida de sus dos lados.
Cuando se conocen las longitudes de los dos lados de un triángulo rectángulo, se pueden utilizar el TEOREMA DE PITÁGORAS y la definición de las razones trigonométricas para encontrar las demás medidas.
EJEMPLOS
Ejemplo 1:
En la siguiente figura se observa el
triángulo ABC, en el cual a = 15cm y
c = 30 cm.
Solución:
Observemos que los lados corresponden a
letras minúsculas del lado opuesto al ángulo dado.
Primero que debemos encontrar es el lado b
por medio del TEOREMA DE PITAGORAS (recordemos este
teorema)
El cual dice que la hipotenusa al cuadrado
es igual a la suma de los cuadrados de los catetos en el anterior ejercicio
seria.
Las
razones trigonométricas se emplean en la resolución de triángulos rectángulos,
esto es, en el cálculo de uno o más de sus lados o ángulos, con un mínimo de
datos.
Para
aplicar estas razones, es necesario conocer el valor numérico de dos de sus
elementos (que pueden ser dos lados o un ángulo agudo y un lado) para encontrar
el valor desconocido de otro de ellos.
Existen
dos casos en la resolución de triángulos rectángulos cuyo procedimiento se
ejemplifica a continuación.
1.-OBTENCIÓN DEL VALOR DE UN LADO, CONOCIDOS UN
ÁNGULO Y UN LADO
Obtener la longitud de una
escalera recargada en una pared de 4.33 m de altura que forma un ángulo de 60°
con respecto al piso.
a) Trazar
el triángulo rectángulo anotando los datos e indicando, con una letra, el lado
que se desea calcular.
Por lo
tanto, la escalera mide 5 m.
2. OBTENCIÓN DEL VALOR DE UN ÁNGULO AGUDO,
CONOCIDOS DOS LADOS DEL TRIÁNGULO
Obtener el
ángulo que forma un poste de 7.5 m de alto con un cable tirante que va, desde
la punta del primero hasta el piso, y que tiene un largo de 13.75 m
Solución:
Ahora, se
tienen únicamente los valores de dos lados, con los cuales se debe obtener el
valor del ángulo.
a) Trazar
un triángulo rectángulo anotando en él los datos.
b)
Seleccionar la función trigonométrica que relacione a los lados conocidos con
el ángulo.
d)
Efectuar la división indicada.
e)
Obtener, en las tablas de funciones trigonométricas o con la calculadora, el
valor del ángulo.
El ángulo
formado por el poste y el cable tirante es de 56° 57'
Para resolver algunos
problemas, donde se aplica la trigonometría, es conveniente conocer lo que es
un ángulo de elevación y un ángulo de depresión.
