GRADO ONCE

Intervalos

Intervalo: Conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos.

¿Qué son los intervalos?

Un intervalo es un conjunto de números reales que se encuentra comprendido entre dos extremos a y b. También se puede llamar subconjunto de la recta real.

Por ejemplo, los números que satisfagan una condición 1 ≤ x ≤ 5 ó [1,5] implica un intervalo que va desde el 1 hasta el 5 incluyendo a ambos.

Si se toma en cuenta la aplicación del intervalo para observar el comportamiento de una variable o una función, se toma una serie de tiempo y se escoge un intervalo.

Por ejemplo, podemos analizar el comportamiento de una función en los intervalos [1,5] o [1,3] como indica la gráfica.

Clasificación de los intervalos

Existen 4 tipos de intervalos matemáticos, estos son: abierto, cerrado, semiabierto e infinito.

Intervalo abierto

Un intervalo abierto es aquel que no incluye los extremos entre los cuales está comprendido el intervalo, pero si todos los valores ubicados entre estos. Se representa mediante una expresión como a < x < b ó (a;b).

Por ejemplo, si tenemos el intervalo abierto (1;5), tendremos el conjunto de números mayores a 1 y menores que 5. Sin incluir el 1 y el 5.

Representación en la recta real del intervalo abierto (a;b).

Intervalo cerrado

Un intervalo cerrado es aquel que incluye los extremos del intervalo y todos los valores comprendidos entre ellos. Se representa con una expresión del tipo a ≤ x ≤ b ó [a;b].

Por ejemplo, si tenemos el intervalo cerrado [1;5] tendremos el conjunto de números mayores o iguales a 1 y menores o iguales a 5. Incluyendo el 1 y el 5.

Representación en la recta real del intervalo cerrado [a;b].

Intervalo semiabierto

Un intervalo semiabierto es aquel que incluye uno de los extremos, los valores que están entre ellos y el otro extremo queda excluido. Puede estar incluido o excluido el extremo derecho o izquierdo.

Se representa con una expresión como a ≤ x < b ó a < x ≤ b, lo que sería [a;b) ó (a;b].

Por ejemplo, si tenemos el intervalo semiabierto (1;5] tendremos el conjunto de números mayores a 1 y menores o iguales a 5. Sin incluir el 1 pero sí el 5.

Representación en la recta real del intervalo semiabierto [a;b).

Intervalo infinito

Un intervalo infinito es aquel que tiene en uno o ambos extremos un valor infinito. El extremo que posea el infinito será un extremo abierto. En caso de que ambos extremos sean infinitos, será la recta real.

Se representa con una expresión como a ≤ x ó x ≤ a, lo que sería [a;∞) ó (-∞;a). Estos además también pueden contener intervalos cerrados, como por ejemplo [a; ∞).

Por ejemplo, si tenemos el intervalo infinito [1;∞) tendremos el conjunto de números mayores o iguales a 1 en adelante.

Representación en la recta real del intervalo infinito [a;∞).

En el siguiente vídeo se puede ver mas claramente el concepto de intervalo:

Ejemplos de intervalos

Para entender mejor el concepto de intervalos, veamos los siguientes ejemplos, junto a su clasificación y números que comprende:

Intervalo	Tipo	Comprende
(-4;6)	Abierto	Mayores que -4 y menores que 6
(16;4)	Abierto	Mayores que 16 y menores que 4
[5;6]	Cerrado	Mayores o iguales a 5 y menores o iguales a 6
[10;14)	Semiabierto	Mayores o iguales a 10 y menores que 14
(1;∞)	Infinito	Mayores que uno hasta el infinito.

Matemáticamente los intervalos se representan de la siguiente manera:

EJERCICIO: Representar en la recta numérica y en forma de intervalo la siguiente desigualdad -1 < x < 5

Solución:

-1 < x < 5

Los números comprendidos entre -1 y 5 incluyendo el 5. Como intervalo queda (-1,5] y la gráfica correspondiente será:

En los siguientes vídeos se desarrollan otros ejemplos para aprender a representar en forma de intervalo una desigualdad y su representación en la recta numérica:

Para representar intervalos en donde aparecen desigualdades de la forma a < x < b se puede mirar el siguiente vídeo:

ACTIVIDAD DE INTERVALOS

DOCENTE:  Giovanni Benavides G.
AREA: Matemáticas
FECHA DE APLICACIÓN:	04/05/2020  a  12/05/2020
GRADO:	11
ENTREGA DE ACTIVIDAD	La actividad se debe entregar el 12/05/2020 enviando la solución al correo: apoyoacademicohgb@gmail.com,  o también al whatsapp del docente editando todas las fotos con nombres, apellido, grado y numero de lista.

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INECUACIONES

Una inecuación es una desigualdad en las que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y qué sólo se verifica para determinados valores de las incógnitas.

Una inecuación simple o de primer grado con una variable puede ser escrita de la siguiente forma:  

PROPIEDADES

CRITERIOS DE EQUIVALENCIA

• Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
• Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número positivo, la inecuación resultante es equivalente a la dada.
• Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un mismo número negativo, la inecuación resultante cambia de sentido y es equivalente a la dada.

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES

La solución de una inecuación es el conjunto de valores de la variable que verifica la inecuación. Podemos expresar la solución de la inecuación mediante:

• Una representación gráfica.
• Un intervalo.

Antes de resolver algunos ejemplos es conveniente reforzar los conocimientos anteriores a través de los siguientes vídeos: 

Para el caso de las inecuaciones lineales; tenemos: 

EJEMPLOS RESUELTOS DE INECUACIONES

Resolver las siguientes inecuaciones encontrando y dibujando el intervalo donde es valida al despejar la incognita x.

1).  Resolver 2x – 3 > x + 5

Pasando x al primer miembro

2x – 3 – x > 5

Pasando ahora el 3 al segundo miembro

2x – x > 5 + 3

Reduciendo, tenemos

x  > 8

 ( 8 ,+ ∞)

La desigualdad solamente se verifica para los valores de x mayores a 8.

2).  Resolver 2 + 3x < 4x + 4

2 + 3x – 4x < 4

3x – 4x < 4 – 2

– x  < 2

x > -2

 ( -2 ,+ ∞)

La desigualdad solamente se verifica para los valores de x mayores a -2

3).  2x – 1 > x + 7

Pasando x al primer miembro

2x – 1 – x > 7

Pasando ahora el 1 al segundo miembro

2x – x > 7 + 1

Reduciendo, tenemos

x  > 8

 (8 ,+∞)

La desigualdad solamente se verifica para los valores de x mayores a 8.

4).  2x – 1 ≤ x + 7

2x – x ≤ 7 + 1

x ≤ 8

  ( – ∞, 8 ]

La desigualdad solamente se verifica para los valores de x menores o iguales a 8.

ACTIVIDAD DE INECUACIONES

DOCENTE:  Giovanni Benavides G.
AREA: Matemáticas
FECHA DE APLICACIÓN:	22/05/2020 a 28/05/2020
GRADO:	11
ENTREGA DE ACTIVIDAD	La actividad se debe entregar el 28/05/2020 enviando la solución al correo: apoyoacademicohgb@gmail.com, o también al whatsapp del docente editando todas las fotos con nombres, apellido, grado y numero de lista.

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FUNCIONES

Para ayudar a Carlos y Luisa a validar los enunciados es necesario interiorizarse en un concepto del cálculo, las funciones. De esta manera, veremos a qué llamamos relación, a qué función en ℝ, y algunas características de sus gráficas.

¿Qué es una función?

Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada se lo puede denominar codominio.

Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codominio). Aunque el codominio también recibe los nombres de imagen, rango o recorrido.

Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codominio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio.

Hay distintas formas en que puede presentarse una función, mediante un enunciado, una tabla, una expresión algebraica o una gráfica, esta última es la que nos permite ver de un sólo vistazo su comportamiento global, de ahí su importancia.

Se relacionan así dos variables numéricas que suelen designarse con x e y. 

f: x → y=f(x) 

x -es la variable independiente. (Dominio)

y -es la variable dependiente. (Codominio, imagen, rango, recorrido)

Las funciones determinan las relaciones que existen entre distintas magnitudes tanto en Matemáticas, como en Física, Química, Medicina, Estadística, Economía, Ingeniería, Psicología... y permiten, entre otras muchas cosas, poder calcular los valores de cada una de ellas en función de otras de las que depende.

Crecimiento y decrecimiento de funciones

Cuando se grafican las funciones se puede caer en tres casos:

·         Una función es creciente en un intervalo (a,b) de su dominio para todo x1 y x2 que pertenece a ese intervalo donde se cumple que si x1 > x2, entonces f(x1) > f(x2). Es decir, la gráfica de la función al leerla de izquierda a derecha va de abajo hacia arriba.

·         Una función es decreciente en un intervalo (a,b) de su dominio para todo x1 y x2 que pertenece a ese intervalo donde se cumple que si x1 > x2, entonces f(x1) < f(x2). Es decir, la gráfica de la función al leerla de izquierda a derecha va de arriba hacia abajo.

·         Una función es constante en un intervalo (a,b) de su dominio para todo x1 y x2 que pertenece a ese intervalo donde se cumple que para todo x1 y x2, entonces f(x1) = f(x2). Es decir, la gráfica de la función al leerla de izquierda a derecha queda totalmente horizontal.

Ejemplo: Analizar la siguiente gráfica de una función:

Continuidad de funciones

Intuitivamente una función f es continua si su gráfica no tiene interrupciones ni saltos, ni oscilaciones indefinidas, en el sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel.

Continuidad de una función de una variable real: Una función f de ℝ en ℝ es continua en el punto a de ℝ si existe el límite de f(x) cuando x tienda a a y dicho límite coincide con f(a). Si no es así, la función es discontinua en el punto a. 

La función anterior es continua en su dominio (ℝ) si es continua en todos los puntos de ℝ.

es continua para los puntos x < 2 por ser polinómica y para los puntos x > 2 por ser constante. Además, la función es continua en el punto x = 2, porque los límites laterales de f(x) cuando x tiende a 2 coinciden y son iguales a f(2). 

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Función lineal

Una función lineal es una función polinómica de grado 1 que pasa por el origen de coordenadas, es decir, por el punto (0,0). Son funciones rectas de la forma:

También se llaman funciones de proporcionalidad directa. La constante m es la razón de proporcionalidad.

Donde m es la pendiente de la recta.

La pendiente es la inclinación de la recta con respecto al eje de abscisas (x).

Si m>0  la función es creciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje x es agudo.

Si m<0 la función es decreciente y el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje X es obtuso.

Función afín

Una función afín es una función lineal que no pasa por el origen de coordenadas, o sea, por el punto (0,0).

Las funciones afines son rectas definidas por la siguiente fórmula:

Los escalares m y n son diferentes de 0.

La m es la pendiente de la recta. La pendiente es la inclinación con respecto al eje de abscisas (eje X). Si m es positiva (m>0), entonces la función es creciente. En cambio, si la m es negativa (m<0), entonces la función es decreciente.

La pendiente m significa que si aumentamos la x en una unidad, la y aumenta en m unidades. Si la m es positiva, conforme aumentemos la x la y también irá aumentando (función creciente). En cambio, si m es negativa, conforme se aumenta la x la y disminuirá (función decreciente).

La ordenada en el origen es la n, es decir, el punto donde la recta corta el eje de ordenadas. Las coordenadas de este punto son (0,n)

EJEMPLOS

Ejemplo 1:  

 Y = 2X

 Para representar la función le damos al menos dos valores

Ejemplo 2:

Sea una función f(x) = 2x-2. En este caso, m que es el coeficiente que multiplica a la x es m = 2 y la ordenada es n = -2.

La función es afín porque tanto m como n son diferentes de 0 (m ≠ 0 y n ≠ 0).

La pendiente de la recta de la función es positiva (m = 2), por lo tanto, la función es creciente.

Como la ordenada es n = -2, la recta corta al eje de ordenadas por el punto (0,-2).

Crecimiento, decrecimiento de las funciones lineales

El crecimiento o decrecimiento de las funciones lineales depende de la pendiente: m

Graficar funciones lineales

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LA ESTADISTICA ESTA PRESENTE EN TODAS NUESTRAS ACTIVIDADES

En nuestra vida diaria nos llega con mucha frecuencia información estadística. Al leer un periódico o una revista, al consultar información en una enciclopedia o en un texto nos encontramos con cantidad de gráficos, tablas y dato que se presentan en variedad de formas. Tanto en la economía como en los deportes, pasando por las comunicaciones, el estudio de las poblaciones o los resultados de unas elecciones políticas, nos encontramos con datos manejados estadísticamente.

 

Estos datos son recopilados y usados en diferentes de situaciones permitiendo tener un control sobre la información, de ahí que diferentes entidades como centros comerciales, supermercados, cines, y hasta parques de diversiones recopilan datos sobre muestras de poblaciones con variables tanto cualitativas como cuantitativas para ofrecer más y mejores servicios, después de realizar un estudio sobre ellos y representarlos de forma adecuada mediante tablas y gráficos que permiten analizar mejor las situaciones.

 

En esta guía estudiaremos las nociones básicas de la estadística que nos permitirá, entre otras cosas, comprender algunas presentaciones estadísticas de datos.

¿Qué es la estadística?

Estadística:

Es la ciencia que se encarga de la recolección, ordenamiento, representación, análisis e interpretación de datos generados en una investigación sobre hechos, individuos o grupos de los mismos, para deducir de ello conclusiones precisas o estimaciones futuras.

 

Población:

Es el colectivo que abarca a todos los elementos cuya característica o características queremos estudiar; dicho de otra manera, es el conjunto entero al que se desea describir o del que se necesita establecer conclusiones. Como ejemplos de poblaciones, podemos citar: todos los estudiantes de la Universidad Central del Ecuador, o los artículos producidos en una semana en una determinada fábrica. Por su tamaño, las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.

 

Muestra:

Es un conjunto de elementos seleccionados de una población de acuerdo a un plan de acción previamente establecido (muestreo), para obtener conclusiones que pueden ser extensivas hacia toda la población. Ejemplos constituyen las muestras que escogen las empresas encuestadoras en estudios de sondeos de opinión, o la selección de un grupo de artículos recibidos en una bodega para estimar las condiciones de todo un embarque.

 

Censo:

Es el estudio de todos y cada uno de los elementos de una población. Esta condición hace que este tipo de estudios no sean muy frecuentes, por cuanto la recolección de toda esa información, sobre todo cuando el tamaño de la población es muy grande o sus elementos se encuentran muy dispersos, sea muy costosa. Ejemplo: último censo de población y vivienda que se realizó en Ecuador en noviembre de 2010.

 

Muestreo:

Es la técnica que nos permite seleccionar muestras adecuadas de una población de estudio. El muestreo debe conducir a la obtención de una muestra representativa de la población de donde proviene, esta condición establece que cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser incluida en la muestra. El estudio de selección de muestras, en sí constituye todo un estudio pormenorizado, que no atañe al estudio en este texto.

División de la Estadística

 

Básicamente la estadística se divide en dos grandes ramas: estadística descriptiva o matemática y estadística inferencial, estas dos divisiones se articulan adecuadamente mediante las probabilidades.

 

Estadística descriptiva

 

Es la parte de la estadística que permite analizar todo un conjunto de datos, de los cuales se extraen conclusiones valederas, únicamente para ese conjunto. Para realizar este análisis se procede a la recolección y representación de la información obtenida. Como ejemplo de estas estadísticas podemos citar a aquellas que se obtienen generalmente en los deportes, en los rendimientos académicos de los estudiantes de una determinada materia, en los negocios al determinar las ventas obtenidas mensualmente en un determinado año por una empresa en particular.

 

Estadística inferencial

 

En esta rama de la estadística, lo que se pretende es obtener conclusiones generales de una determinada población, mediante el estudio de una muestra representativa sacada de ella, dicho de otra manera, lo que se trata es que, con el valor de los estadísticos obtenidos, podamos establecer los valores de los parámetros. Entonces podemos concluir que la estadística inferencial analiza o investiga a una población, valiéndose de los datos y resultados que se obtienen de una muestra. Ejemplos muy claros de este tipo de estadística constituyen la aplicación de nuevos tratamientos con nuevos fármacos, o las proyecciones que pueden hacer los investigadores de mercado sobre cómo influye la publicidad en ciertos segmentos de mercado.

Esta condición vista anteriormente, ha permitido que la estadística inferencial, tenga un crecimiento cada vez mayor, por cuanto sus aplicaciones son cada vez más eficientes en el manejo de poblaciones; por tal motivo es que existen métodos muy variados para poder realizar la generalización de los resultados obtenidos en el muestreo. (Pruebas de hipótesis, predicciones futuras y más).

Variables de datos

 

La información que se obtiene de un estudio estadístico, proviene de variables, las mismas que están determinadas con el interés que se tenga sobre los elementos de Observación. Estas variables están categorizadas en dos grandes grupos, tal como se aprecia en la Figura:

 

 

Tipo de Variable

 

De tal manera los datos que se generan en un estudio estadístico, serán de la misma categorización de la variable que se está estudiando, por lo tanto, éstos pueden ser cualitativos o cuantitativos y a su vez discretos o continuos.

Variable cualitativa

 

Las variables cualitativas se refieren a características o cualidades que no pueden ser medidas con números. Por ejemplo: El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado, divorciado y viudo.

 

Variable cuantitativa

 

Una variable cuantitativa es la que se expresa mediante un número, por tanto se pueden realizar operaciones aritméticas con ella. Podemos distinguir dos tipos:

 

Variable discreta

 

Una variable discreta es aquella que toma valores aislados, es decir no admite valores intermedios entre dos valores específicos. Por ejemplo: El número de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.

 

Variable continúa

 

Una variable continua es aquella que puede tomar valores comprendidos entre dos números. Por ejemplo: La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.  En la práctica medimos la altura con dos decimales, pero también se podría dar con tres.

 

Ejemplo: Se desea observar a las casas unifamiliares del sector sur de una ciudad.

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